[2016년 운정고]

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[1학년 2학기 기말]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 =11], [eqn: a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =13]
일 때, [eqn: a_1 + a_2 + a_3 +cdots+a_20]의 값은?

⑤

① [eqn: 115]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 125]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 135]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여
[eqn: n over6 S_n =sum_k=1^n k^2]일 때, [eqn: a_1 + a_3 +a_5]의 값은?

③

① [eqn: 38]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 42]

공비가 [eqn: {root2 -1} over 2]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, 임의의 자연수 [eqn: m], [eqn: k]에 대하여
[eqn: {S _{m+2} -S _{m}} over {S _{m+1} -S _{m}} - {S _{k+3} -S _{k}} over {S _{k+2} -S _{k}}]의 값은? (단, [eqn: a_1 !=0])

②

① [eqn: 2-root2]	② [eqn: 3-2root2]	③ [eqn: 4-3root2]

④ [eqn: 5-4root2]	⑤ [eqn: 6-5root2]

다음과 같이 나열된 수 전체의 합은?

④

[eqn: 1cdot2]   [eqn: 1 cdot3]   [eqn: 1 cdot4]   [eqn: 1 CDOT 5]   [eqn: cdots]   [eqn: 1 cdot9]   [eqn: 1 cdot10]

[eqn: 3cdot3]   [eqn: 3cdot4]   [eqn: 3cdot5]   [eqn: cdots]   [eqn: 3cdot9]   [eqn: 3cdot10]

[eqn: 5 cdot4]   [eqn: 5 cdot5]   [eqn: cdots]   [eqn: 5 cdot9]   [eqn: 5 cdot10]

[eqn: 7 cdot5]   [eqn: cdots]    [eqn: vdots]     [eqn: vdots]

[eqn: 15 cdot9]  [eqn: 15 cdot10]

[eqn: 17 cdot10]

① [eqn: 2280]	② [eqn: 2290]	③ [eqn: 2300]

④ [eqn: 2310]	⑤ [eqn: 2320]

다음과 같은 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1^30 a_k = q overp]일 때 [eqn: p+q]의 값은? (단 [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

⑤

[eqn: 1over2], [eqn: 1over4], [eqn: 2over4], [eqn: 1over6], [eqn: 2over6], [eqn: 3over6], [eqn: 1over8], [eqn: 2over8], [eqn: 3over8], [eqn: 4over8], [eqn: 1over10], [eqn: 2over10], [eqn: 3over10], [eqn: 4over10], [eqn: 5over10], [eqn: cdots]

① [eqn: 151]	② [eqn: 153]	③ [eqn: 155]

④ [eqn: 157]	⑤ [eqn: 159]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을
[eqn: a_1 =1], [eqn: a_n = (2n+1)cdot2^n-1] [eqn: (n=2,```3,```4,```cdots)]
이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 a_k]의 값은?

⑤

① [eqn: 19times2^10 +1]	② [eqn: 18times2^10 +1]	③ [eqn: 17times2^10 +1]

④ [eqn: 19 times2^10 -1]	⑤ [eqn: 18times2^10 -1]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: {a_1 + a_2 +`cdots`+a_n} over n = n+1][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)]를 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=2} ^{49} {1} over {sqrt {a _{k}} + sqrt {a _{k+1}}}]의 값은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a_1` =5], [eqn: a_n+1 = {2n -1} over {2n+1}a_n][eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1^12 a_k ``a_k+1]은?

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

다음은 [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 1+ 1over2 + 1over3 +`cdots`+ 1overk > 2n over n+1] [eqn: cdotscdots] ㉠
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 [eqn: (가)]에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 할 때, [eqn: sum_k=2^20 f(k)] 값은?

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: (좌변)=1 + 1over 2 = 3over2], [eqn: (우변)= 2times2 over2+1 = 4over3]

이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] [eqn: (k>=2)]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ 1over2 + 1over3 +`cdots`+ 1overk > 2k over k+1]

이다. 이때

[eqn: 2k over k+1 + 1over k+1 - 2(k+1) over (k+1)+1 =box{```` (가)````}over {(k+1)(k+2)} >0]

이므로

[eqn: 1+ 1over2 + 1over3 +`cdots`+ 1overk + 1overk+1 > 2k+1 over {(k+1)+1}]

이다. 그러므로 [eqn: n = k+1]일 때에도 ㉠이

성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n>=2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

②

① [eqn: 205]	② [eqn: 209]	③ [eqn: 213]

④ [eqn: 217]	⑤ [eqn: 221]

그림과 같이 [eqn: a !=1]이고 [eqn: 2], [eqn: 3]과 각각 서로소인 자연수 [eqn: a]에 대하여, 부피가 [eqn: a^2]인 정육면체에서 서로 다른 세 꼭짓점을 선택하여 넓이가 다른 세 종류의 삼각형을 만들었다. 세 종류의 삼각형의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이라 할 때, [eqn: S_1 times S_2 timesS_3 =2^p times3^q timesa^r]이다. [eqn: p+q+r]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]은 유리수이다.)

③

① [eqn: - 2over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 7over8]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: a^{1over2} +a^{- 1over2} =3] 일 때, [eqn: {a^{3over2} + a^{- 3over2}} over {a^1 - a^-1}]의 값은? (단, [eqn: a>1])

④

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 8over2]	③ [eqn: root5 over 5]

④ [eqn: {6root5} over 5]	⑤ [eqn: 8root5}over5]

[eqn: log_{x-1}(-x^2 +4x +5)]이 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: log_{1over3} root27 + {log_3 32}over{log_3 8} = k] 일 때, [eqn: 48k]의 값은?

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

자연수 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A^50]이 [eqn: 46]자리의 수일 때, [eqn: 1 over A^10]은 소수점 아래 [eqn: n]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타날 때, [eqn: A+n]의 값은? (단, [eqn: log2=0.3010], [eqn: log3=0.4771], [eqn: log7=0.8451]로 계산한다.)

⑤

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

컴퓨터의 하드 디스크에 표시된 용량이 [eqn: n rmGB](기가바이트)이면 컴퓨터 운영체제가 인식하는 용량은 [eqn: n TIMES left( {1000} over {1024} right) ^{3}][eqn: rm GiB](기비바이트)라고 한다. [eqn: 400][eqn: rmGB]로 표시된 하드 디스크를 설치하였을 때, 컴퓨터 운영체제가 인식하는 용량은 몇 [eqn: rm GiB]인가? (단, [eqn: log2=0.3010], [eqn: log3.71=0.5690], [eqn: log3.73=0.5720]로 계산한다.)

②

① [eqn: 371]	② [eqn: 373]	③ [eqn: 425]

④ [eqn: 569]	⑤ [eqn: 572]

서술형

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 = 1over 1^3], [eqn: a_2 = {1+2}over{1^3 + 2^3], [eqn: a_3 = {1+2+3} over {1^3 + 2^3 + 3^3}], [eqn: cdots]일 때, [eqn: sum_k=1^n a_k = 19over10]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 19]

정해진 기간 동안 일정액을 처음에 한 번만 입금하여 만기일에 원금과 이자를 지급받는 것을 정기예금이라 하고, 일정액을 매월 정립하여 만기일에 원금과 이자를 지급받는 것을 정기적금이라 한다. 어느 은행에 다음과 같은 상품 [eqn: A], [eqn: B]가 있다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: 1.036^2 = 1.073], [eqn: 1.003^24 = 1.075]로 계산한다.)

(1) [eqn: 2575200]원

(2) [eqn: 2507500]원

(3) [eqn: A]

○ 상품 [eqn: A]는 연이율 [eqn: 3.6%]의 복리로 적립하는

정기예금이다.

○ 상품 [eqn: B]는 월이율 [eqn: 0.3%]의 복리로 적립하는

정기예금이다.

(1) [eqn: 2017]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일에 [eqn: 240]만원을 상품 [eqn: A]에 적립하였을

때, [eqn: 2018]년 말의 적립금의 총액을 구하고 그 과정을

서술 하시오.

(2) [eqn: 2017]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 매달 초에 [eqn: 10]만원씩 상품 [eqn: B]에

적립하였을 때, [eqn: 2018]년  말의 적립금의 총액을 구하고

그 과정을 서술하시오.

(3) 두 상품 [eqn: A], [eqn: B] 중 어느 상품의 총액이 더 많은지

비교하시오.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: root {5} of {(a-2)x ^{2} +2(a-2)x-5}]이 음의 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 값을 모두 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: -2]. [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]

어느 회사의 매출액이 매년 일정한 비율 [eqn: x%]로 증가하여 [eqn: 10]년 만에 [eqn: 4]배가 되었다. 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 15%]

(2) [eqn: 19710]

(1) 매년 증가한 일정한 비율 [eqn: x%]를 구하고 그 과정을

서술하시오. (단, [eqn: log1.15 = 0.0602], [eqn: log2 = 0.3010]로 계산한다)

(2) [eqn: logx^2]의 정수부분과 [eqn: log5N]의 정수부분이 같도록 하는

모든 자연수 [eqn: N]의 합을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[2016년 운정고]

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[1학년 2학기 기말]

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